Matematikte Kök 2 Sayısının Hikayesi | Sibel Çağlar

Yunanistan açıklarında fırtınalı bir gün. Tarih M.Ö. 520 civarı. Geminin arka tarafından bir adam açık denize atılıyor ve gemi uzaklaşıyor. Bu adamın adı Hippasus. Suçu mu? Dünyanın en tehlikeli matematiksel oranını keşfetmesi…

Sayıların babası” olarak bilinen Pisagor (M.Ö. 580 – 500) ve ona inananlar evrenin tam sayılardan yapıldığına inanıyordu. Pisagor’un sloganı, okulunun girişinin üzerine oyulmuştu. “All is number. “yani “Her şey sayıdır”.

Pisagor’a göre, doğal sayıları Tanrı yaratmıştır. 1 dışında tek sayılar erkek, çift sayılar dişidir. 1, sayıların içinde en kutsal olanıdır, bu açıdan 1 ne dişidir, ne de erkek. Her sayının kendine özgü özellikleri vardır. Mesela 10, olabilecek tüm geometrik boyutların toplamı olduğundan evrenin sayısıdır.

Ancak Pisagor’un korkunç bulmuş olduğu bir sayı vardı ve bu sayı giriş paragrafında anlatılan efsanenin doğmasına neden olmuştu. Tahmin ettiğiniz gibi kök 2 sayısından bahsediyoruz.

Kenarları 1 birim uzunluğunda olan karenin köşegeni kök 2 birim uzunluktadır. Yani yaklaşık 1.4142.

Bugün için size bu sayı garip gelmeyebilir ancak o dönemde durum farklıydı. İşte bu nedenle irrasyonel sayı olarak adlandırıldı bu sayı.

Kök 2 sayısı irrasyoneldir dediğimizde ne demek isteriz?

İrrasyonel rasyonel olmayan demektir. Rasyonel olmayan demek, onun, iki tamsayının oranı olarak yazılamayacağı anlamına gelmektedir.

Bir oran olarak yazılamaz demek, onun, bir bayağı kesir olarak ifade edilemeyeceği anlamına gelmektedir. Kök 2 sayısını bir hesap makinası yardımı ile hesaplarsak  gibi bir sonuç elde ederiz.

Dikkat ediniz ki, rakamlar arasında hiçbir tekrar bulunmamaktadır.

Şimdi aşağıdaki örneklere bakalım biçiminde bir sonuca sahiptir. Dikkatli bakarsanız 142857 rakam öbeği tekrarlamaktadır.

Şimdi de 1/109 kesrine bakalım:
biçiminde devam eder. Burada kesrin ilk 100 basamağını hesapladık ama hiçbir tekrar göremedik. Bu, kesrin irrasyonel olduğu anlamına mı gelir?

Hayır gelmez…

Eğer hesaplamamızı 330 basamağa kadar götürürsek sayıda 108 rakamlık bir devir bulunduğunu buluruz.
Bu noktaya kadar gördük ki, bir bayağı kesir, bazen çok uzun bazen de çok kısa olabilen rakam periyotlarından oluşmuş ondalık sayılara dönüştürülebiliyor. Oysa ki, bir irrasyonel sayıda böyle bir tekrar elde etmemiz mümkün değil.

Şimdi gelin √2 sayısının neden iki sayının oranı biçiminde gösterilemeyeceğini ispatlayalım.

Önce √2 ‘nin de rasyonel sayı olduğunu varsayalım. O zaman aralarında asal (sadeleşmeyen) öyle iki p ve q tam sayıları vardır ki p/q √2’ye eşit olmalıdır.

Denklemin her iki tarafının karesi alındığında p2/q2=2, yani diğer bir deyişle p2=2q2 olur.

Bu durumda p karesi çift olan bir sayıdır. Bir sayının karesi çiftse kendisi de çifttir, o zaman p kesin çift sayıdır. Demek ki p=2k yazabileceğimiz bir k tam sayısı bulabiliriz. Şimdi bunu denklemde yerine yazalım.

2q2=(2k)2=4k2oldu, sadeleştirme sonucunda q2=2k2 ifadesi bulundu.

Bu durumda q2‘nin, dolayısıyla q’nun da çift olması gerekiyor. Ve işte burada işler karışıyor, sonuçta ikisi de çift sayı ise sadeleşebilmeliler oysa biz başlangıçta bu sayıların aralarında asla olduğunu yani sadeleşmediğini kabul etmiştik.

Belki de, Pisagor’un müritlerinden Hippasus yanındaki arkadaşlarına “düşünüyorum da, bu soruna çözüm bulamadım” deyince kendisini denizde bulur. Efsane ya da değil kesin bilemeyiz ama gerçeklik payı olası gibi geliyor kulağa…

Farklı bir yaklaşım ile aynı konuyu bu yazıda da inceleyebilirsiniz: Kök 2’nin İrrasyonelliğine Geometrik Bir Bakış

Kaynak: https://nrich.maths.org/2671